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第4回世界算数

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実は、先週の金曜日にMASTERコースを受験しました。

 

最近はめっきり時間をはかって問題を解くということをしていないので、

 

時間の使い方がうまくいかず、

前の晩に遅くまで飲んでいたからとか

途中で仕事の電話がかかってきからとか

 

いろいろ言い訳がでてくるのですが…

 

 

問題については映画の結末と同じようにネタバレになってしまうため、

コメントを差し控えようと思いますが、中学入試の算数は最強だということを改めて実感しました。

 

予習シリーズ算数5年下 第12回流水算・通過算

今回の単元の前に確認してほしいこと、それは和差算である。

 

前回の第11回でも、「池の周りを反対方向に進む→速さの和」「池の周りを同じ方向に進む→速さの差」ということに気づきその後、それぞれA君とB君の速さの比を求める問題があったが、和と差に気づいたらすぐに和差算!と進められないと、何をやっている(やったらよい)のかわからなくなってしまう。

 

 

今回の流水算では、まず上りの速さと下りの速さはそれぞれ、

上りの速さ=静水時の船の速さー川の流れの速さ

下りの速さ=静水時の船の速さ+川の流れの速さ

で求められる。

 

静水時の速さと川の流れの速さから上りと下りの速さを求めろ、なんてことを問われることはない。

実際に与えられるのは上りの速さと、下りの速さであるため、ここから静水時の船の速さと、川の流れの速さを求めなければならない。

船と川のが下りの速さ、船と川のが上りの速さである。和と差が与えられている、つまり、ここで和差算の登場である。

 

どうせ、ここで使うのだろうな、という準備をするのとしないのとでは大きな違いである。

 

 

 

 

 

 

 

 

予習シリーズ算数4年下 第12回消去算

消去算、いいかえると、中学2年生で学習する連立方程式だ。

 

一番よいのは、解かずに答えが求まること。

問題の数値をみた瞬間に、勘のいい生徒は見当がつく。

また、式をつくらずとも与えられた条件を自在に組み合わせて、新たな関係を導く。

それで答えが求まれば十分である。

 

例題1

◯大、◯小などとかくのは格好悪いので、AとBを使おう。ただし、数学のように2Aとは書かずに、2×Aと記すことにする。

 

大人だからAdultsのA、子供だからBoysのB、としよう。

 

問題文より

A×1+B×4=440・・・a

A×2+B×5=700・・・b

 

大人の人数も子供の人数もどちらもそろっていないのでどちらかを揃えにいこうとすると、今回は大人を揃えたほうが簡単だ。

 

aの式を2倍すると

A×2+B×8=880・・・a'

が得られる。これとbの式を比べると、違いは子供3人が180円と分かる

よって子供一人は60円と分かる。

 

実際にノートにかくときは

  A×2+B×8=880・・・a'

)A×2+B×5=700・・・b 

     B×3=180

 

とたてにそろえて式を書き、上から下に引けるようにかくことだけでも解けるか解けないかがかわってくる。

 

  A×2+B×5=700・・・b

A×2+B×8=880・・・a' 

 

と書いてしまうと、上から下に引けない(マイナスになる)ため、それだけで手がとまってしまう。

 

また、次の方法でもよい。

1つ目の条件と2つ目の条件を比べると大人1人と子供1人の合計が260円と分かる。それと1つ目の条件を比べると、子供3人で180円、だから子供1人は60円。

 

立式すると大人はわかりやすいが、抽象度が増す分だけ、小学生は扱いづらい。

無理に立式する必要はない。

 

 

 

子供の代金が求まれば、aに代入して大人一人をだすことができる。

440−60×4=200円

 

 

 

例題3

A×3+B×1=420・・・a

B×1=A×1+60 ・・・b

 

bをaに代入して解くが、この方法はあまり好きではない。

とりあえず、予習シリーズ通り教えるが、算数ならもっと自由に解いていきたい。

 

例えばこの考え方はどうだろうか。

 

ケーキのかわりにジュースを買ったら。。。

つまり、ジュース3本とケーキの1個で420円という状況が

ケーキ1個をジュース1本に代えることでジュース4本に、値段が60円安くなり360円にかわる。

つまりジュース4本で360円、つまりジュースは1本90円とわかる。

この方がすっきりしないだろうか。

 

 

 

 

七五三

今日はどうやら七五三のようである。

 

この日に決まった理由も諸説あるようだが、数字好きとしては眉唾ものであることを承知の上で、7+5+3=15で15日になった説を支持したい。

 

さて、この3つの数字はすべて素数であるが、素数の世界ではこの3つの並びは非常に貴重である。というのも、(3,5,7)のように差が2である3つの素数の組はこの1組だけである。(差が2である3つの整数の中には、必ず3の倍数が1つ含まれる。そのため、3のみが、3の倍数でかつ素数なのでこの組み合わせ以外にはない。)

 

ちなみに、差が2の2つの素数の組は双子素数といわれ、(3,5)(5,7)(11,13)…と無数に存在すると言われているがまだ証明されていないらしい。

 

同様に差が4の2つの素数の組をいとこ素数、(3,7)(7,11)(13,17)…

差が6の2つの素数の組を(5,11)(7,13)(11,17)…

差が2,4(4,2)の3つの素数の組を3つ子素数、(5,7,11)(7,11,13)…

 

などと名前をつけており、世の数学者は数遊びをしている。

また、楽しからずや。

予習シリーズ算数5年下 第11回

今週は「速さと比(3)」です。

池の周りを周る場合の旅人算を比で解く方法と、時計算を学習する週です。

 

この単元を学習する前に池の周りの旅人算(5年上第19回)と速さと比(5年下第6回、第7回)を学習しておかないと全く理解できません。

忘れちゃった場合も復習してから取り組むことを強くおすすめします。

 

さて、例題1です。

ここで比の扱いができれば、以後の問題は同様に考えれば正解までたどりつくことができますので、(1)のみ解説します。

 

まず、同じ道のりの場合「かかる時間の比と速さの比が逆比」になることを使い、速さの比を求めます。

時間の比 

 兄:弟=20:30=2:3

よって速さの比(=時間の比の逆比)

 兄:弟=1/2:1/3=3:2

 

2人で池の周りを反対向きに一周する場合、2人あわせて一周することになりますので2人の速さの和で考えていきます。

そこで、

速さの比

兄:弟:和=3:2:5

よって時間の比(=速さの比の逆比)

兄:弟:和=1/3:1/2:1/5=10:15:6

 

が得られます。実際に計算する場合は兄:和や弟:和だけでも十分ですが、今回は3つ並べて書いています。

 

兄の時間10に対し、和の時間が6ですので

兄が一周するのにかかった時間20分と比べ、答えは12分と求められます。

 

最終的にこの方法で解けるようになった方がよいのですが、なかなか抽象的な比を扱うことができない場合は、緊急避難的に道のりを一旦だしてから求める方法で理解しておきましょう。それが別解2での方法です。

 

時間の比から2人の速さの比を3:2と求めるところまでは共通です。

ここから、兄の速さマル3(弟の速さマル2)を使い池一周を求めます。

 

兄は速さマル3で池を一周すると20分かかるので、池の周りは3×20=マル60と求められます。(弟だと速さマル2×30分でマル60)

これを2人で一周するので池一周マル60を2人の速さの和マル5(マル2+マル3)で割り、12分と求めることができます。

 

 

5年生のうちに図形の単元も含め比の扱いをマスターしておきましょう。

予習シリーズ算数4年下 第11回分数(3)

今回の単元では分数×整数、分数÷整数、分数×分数、分数÷分数まで一気に学習してしまいます。

 

授業内だけでは演習量は足りませんので、しっかり家庭で演習することが必要です。

また、分数でわることがなぜ逆数をかけることと同じになるのか理解することも忘れてはなりません。

 

それでは、要点の解説です。

 

分数のかけ算(分数×分数)

予習シリーズでは約分できる数で解説していますが、ここでは約分できない数に代えて解説します。

たとえば、f:id:sansudaisuki:20161113205624p:plainを考えます。掛け算は図形の面積として表すことができるので、ここはたてf:id:sansudaisuki:20161113205622p:plainよこf:id:sansudaisuki:20161113205620p:plainの長方形の面積を考えます。

f:id:sansudaisuki:20161113203439p:plain

全体の面積は一辺が1mの正方形ですので面積はf:id:sansudaisuki:20161113205619p:plainです。

 

今回の面積はその全体のどれだけかを考えます。

たてに5等分、横に3等分していますので、全体を15等分したことになります。

そのうち色の付いている部分は縦4マス×横2マスですので、合計8マスです。

f:id:sansudaisuki:20161113203528p:plain

よって、答えはf:id:sansudaisuki:20161113205617p:plain

 

つまり分数の掛け算は分母は分母と、分子は分子と掛け算すればよいことがわかります。

 

 

 

続いて、分数の割り算(分数÷分数)です。

ここでは、先ほどと同様、面積を使って解説します。

面積と縦の長さがわかっているとき、横の長さを求めるには面積÷縦の長さで求まります。そこで、面積がf:id:sansudaisuki:20161113210608p:plain、縦f:id:sansudaisuki:20161113210845p:plainの長方形の横の長さを考えます。

f:id:sansudaisuki:20161113203612p:plain

すなわちf:id:sansudaisuki:20161113210946p:plainです。

 

まず、今回の考え方ですが、縦の長さが1mだと、面積÷1となり、面積の数値と横の長さが同じ値になります。そこで、縦の長さを1mにすることが目標です。

f:id:sansudaisuki:20161113203615p:plain

 

では、縦の長さf:id:sansudaisuki:20161113210733p:plainを1にするために、まず縦の長さをいったんf:id:sansudaisuki:20161113212145p:plainにします。

そうすると、面積f:id:sansudaisuki:20161113210734p:plainも5分の1になるため、色のついたところの面積はf:id:sansudaisuki:20161113212349p:plainになります。

f:id:sansudaisuki:20161113203618p:plain

縦の長さを1mにするために続いて縦の長さを7倍します。

f:id:sansudaisuki:20161113203621p:plain

すると、面積も7倍になるためf:id:sansudaisuki:20161113212349p:plainの7倍でf:id:sansudaisuki:20161113210735p:plainになります。

これで縦の長さが1mのときの面積が求まりました。

よって、このときの横の長さはf:id:sansudaisuki:20161113210735p:plainになります。

横の長さは□のまま変えていませんのでf:id:sansudaisuki:20161113210946p:plainの答えはf:id:sansudaisuki:20161113210735p:plainになります。

 

すなわち、縦の長さの分子で割り、分母をかけることになるため、分数の割り算は÷のあとにある分数の逆数をかければよいことがわかります。

 

スーパームーン

11月14日に普段の満月より大きく見えるスーパームーンが観測されます。

 

国立天文台のサイトによると、今年の最小の満月と比べると、月の直径が約14%、面積で約30%大きく見えます。

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© 国立天文台

 

ピザのMサイズ(約25cm)とLサイズ(約35cm)だと、直径で約40%大きくなり、面積で約2倍になります。

今回のスーパームーンはピザのMサイズとLサイズの違いほどないということです。

 

ちなみに近いサイズの違いはケーキの7号(直径21cm)と8号(直径24cm)の違いです。どちらも大きいケーキということで、そんなに違いがわからないという程度です。

 

そもそも、どうして見かけの違いが起こるのでしょうか。

月は地球のまわりを公転していますが、その軌道は円軌道ではなく楕円軌道になっています。極端にかくと、次の図のようになります。(青が地球、黄色が月で、楕円軌道を表しています)

 

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もっとも近づくときは約35.6万km、もっとも遠いときは約40.6万kmになります。

今年は11月14日の20時21分にもっとも近くなります。ただ、このときは満月ではありません。満月になるのはそれから約2時間後の22時52分にスーパームーンになります。

 

この日ばかりは少し夜更かしして、月を眺めてみるのもいいのではないでしょうか。